2018甘肃高考理科数学试题及答案解析【Word真题试卷】

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绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题***。

2.作答时,将答案写在答题***。写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

 

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.

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A.

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B.

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C.

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D.

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2.已知集合

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,则

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中元素的个数为

A.9B.8C.5D.4

3.函数

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的图像大致为

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4.已知向量

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满足

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,则

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A.4B.3C.2D.0

5.双曲线

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的离心率为

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,则其渐近线方程为

A.

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B.

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C.

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D.

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6.在

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中,

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,则

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A.

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B.

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C.

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D.

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7.为计算

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,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入

A.

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B.

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C.

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D.

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8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如

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.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是

A.

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B.

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C.

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D.

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9.在长方体

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中,

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,则异面直线

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所成角的余弦值为

A.

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B.

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C.

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D.

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10.若

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是减函数,则

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的最大值是

A.

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B.

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C.

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D.

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11.已知

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是定义域为

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的奇函数,满足

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.若

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,则

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A.

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B.0C.2D.50

12.已知

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是椭圆

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的左,右焦点,

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的左顶点,点

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在过

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且斜率

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的直线上,

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为等腰三角形,

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,则

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的离心率为

A.

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B.

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C.

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D.

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二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.曲线

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在点

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处的切线方程为__________.

14.若

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满足约束条件

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的最大值为__________.

15.已知

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,则

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__________.

16.已知圆锥的顶点为

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,母线

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所成角的余弦值为

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与圆锥底面所成角为45°,若

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的面积为

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,则该圆锥的侧面积为__________.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)

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为等差数列

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的前

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项和,已知

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(1)求

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的通项公式;

(2)求

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,并求

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的最小值.

18.(12分)

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额

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(单位:亿元)的折线图.

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为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了

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与时间变量

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的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量

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的值依次为

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)建立模型①:

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;根据2010年至2016年的数据(时间变量

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的值依次为

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)建立模型②:

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(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

19.(12分)

设抛物线

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的焦点为

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,过

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且斜率为

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的直线

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交于

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两点,

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(1)求

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的方程;

(2)求过点

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且与

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的准线相切的圆的方程.

20.(12分)

如图,在三棱锥

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中,

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的中点.

(1)证明:

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平面

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(2)若点

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在棱

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上,且二面角

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,求

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与平面

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所成角的正弦值.

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21.(12分)

已知函数

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(1)若

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,证明:当

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时,

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(2)若

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只有一个零点,求

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(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系

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中,曲线

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的参数方程为

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为参数),直线

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的参数方程为

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为参数).

(1)求

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的直角坐标方程;

(2)若曲线

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截直线

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所得线段的中点坐标为

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,求

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的斜率.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)

设函数

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(1)当

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时,求不等式

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的解集;

(2)若

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,求

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的取值范围.

 

 

参***:

一、选择题

1.D2.A3.B4.B5.A6.A

7.B8.C9.C10.A11.C12.D

二、填空题

13.

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14.915.

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16.

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三、解答题

17. (12分)

解:(1)设

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的公差为d,由题意得

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.

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得d=2.

所以

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的通项公式为

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.

(2)由(1)得

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.

所以当n=4时,

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取得最小值,最小值为−16.

18.(12分)

解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

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(亿元).

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

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(亿元).

(2)利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下:

(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

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上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型

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可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19.(12分)

解:(1)由题意得

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,l的方程为

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.

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.

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,故

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.

所以

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.

由题设知

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,解得

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(舍去),

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.

因此l的方程为

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.

(2)由(1)得AB的中点坐标为

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,所以AB的垂直平分线方程为

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,即

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.

设所求圆的圆心坐标为

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,则

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解得

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因此所求圆的方程为

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.

20.(12分)

解:(1)因为

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的中点,所以

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,且

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.

连结

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.因为

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,所以

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为等腰直角三角形,

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.

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.

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平面

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.

(2)如图,以

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为坐标原点,

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的方向为

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轴正方向,建立空间直角坐标系

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.

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由已知得

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取平面

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的法向量

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.

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,则

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.

设平面

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的法向量为

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.

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,可取

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所以

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.由已知得

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.

所以

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.解得

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(舍去),

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.

所以

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.又

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,所以

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.

所以

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与平面

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所成角的正弦值为

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.

21.(12分)

【解析】(1)当

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时,

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等价于

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设函数

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,则

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时,

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,所以

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单调递减.

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,故当

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时,

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,即

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(2)设函数

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只有一个零点当且仅当

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只有一个零点.

(i)当

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时,

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没有零点;

(ii)当

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时,

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时,

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;当

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时,

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所以

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单调递减,在

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单调递增.

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的最小值.

①若

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,即

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没有零点;

②若

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,即

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只有一个零点;

③若

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,即

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,由于

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,所以

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有一个零点,

由(1)知,当

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时,

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,所以

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有一个零点,因此

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有两个零点.

综上,

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只有一个零点时,

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22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

【解析】(1)曲线

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的直角坐标方程为

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时,

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的直角坐标方程为

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时,

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的直角坐标方程为

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(2)将

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的参数方程代入

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的直角坐标方程,整理得关于

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的方程

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.①

因为曲线

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截直线

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所得线段的中点

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内,所以①有两个解,设为

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,则

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又由①得

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,故

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,于是直线

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的斜率

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23.[选修4-5:不等式选讲](10分)

【解析】(1)当

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时,

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可得

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的解集为

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(2)

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等价于

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,且当

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时等号成立.故

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等价于

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可得

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,所以

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的取值范围是

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