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浏览2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题***。
2.作答时,将答案写在答题***。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.
A.
B.C.D.2.已知集合
,则中元素的个数为A.9B.8C.5D.4
3.函数
的图像大致为4.已知向量
,满足,,则A.4B.3C.2D.0
5.双曲线
的离心率为,则其渐近线方程为A.
B.C.D.6.在
中,,,,则A.
B.C.D.7.为计算,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入A.
B.
C.
D.
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如
.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A.
B.C.D.9.在长方体
中,,,则异面直线与所成角的余弦值为A.
B.C.D.10.若
在是减函数,则的最大值是A.
B.C.D.11.已知
是定义域为的奇函数,满足.若,则A.
B.0C.2D.5012.已知
,是椭圆的左,右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为
的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为A.
B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线
在点处的切线方程为__________.14.若
满足约束条件 则的最大值为__________.15.已知
,,则__________.16.已知圆锥的顶点为
,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为45°,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
记
为等差数列的前项和,已知,.(1)求
的通项公式;(2)求
,并求的最小值.18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额
(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了
与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12分)
设抛物线
的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.(1)求
的方程;(2)求过点
,且与的准线相切的圆的方程.20.(12分)
如图,在三棱锥
中,,,为的中点.(1)证明:
平面;(2)若点
在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.21.(12分)
已知函数
.(1)若
,证明:当时,;(2)若
在只有一个零点,求.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系
中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).(1)求
和的直角坐标方程;(2)若曲线
截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数
.(1)当
时,求不等式的解集;(2)若
,求的取值范围.
参***:
一、选择题
1.D2.A3.B4.B5.A6.A
7.B8.C9.C10.A11.C12.D
二、填空题
13.
14.915.16.三、解答题
17. (12分)
解:(1)设
的公差为d,由题意得.由
得d=2.所以
的通项公式为.(2)由(1)得
.所以当n=4时,
取得最小值,最小值为−16.18.(12分)
解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.(12分)
解:(1)由题意得
,l的方程为.设
,由
得.,故.所以
.由题设知
,解得(舍去),.因此l的方程为
.(2)由(1)得AB的中点坐标为
,所以AB的垂直平分线方程为,即.设所求圆的圆心坐标为
,则解得或因此所求圆的方程为
或.20.(12分)
解:(1)因为
,为的中点,所以,且.连结
.因为,所以为等腰直角三角形,且
,.由
知.由
知平面.(2)如图,以
为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.由已知得
取平面的法向量.设
,则.设平面
的法向量为.由
得,可取,所以
.由已知得.所以
.解得(舍去),.所以
.又,所以.所以
与平面所成角的正弦值为.21.(12分)
【解析】(1)当
时,等价于.设函数
,则.当
时,,所以在单调递减.而
,故当时,,即.(2)设函数
.在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.(i)当
时,,没有零点;(ii)当
时,.当
时,;当时,.所以
在单调递减,在单调递增.故
是在的最小值.①若
,即,在没有零点;②若
,即,在只有一个零点;③若
,即,由于,所以在有一个零点,由(1)知,当
时,,所以.故
在有一个零点,因此在有两个零点.综上,
在只有一个零点时,.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
【解析】(1)曲线
的直角坐标方程为.当
时,的直角坐标方程为,当
时,的直角坐标方程为.(2)将
的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程.①因为曲线
截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.又由①得
,故,于是直线的斜率.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
【解析】(1)当
时,可得
的解集为.(2)
等价于.而
,且当时等号成立.故等价于.由
可得或,所以的取值范围是.2020年天津中考数学试题答案解析(图片版)
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