2024台山一中高三第一次月考数学试题及答案解析

 

台山一中2024届高三第一次月考数学试题

2023-08

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合

，

，则

（    ）

A.

 B.

 C.

 D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合

、

，利用交集的定义可求得集合

.

【详解】因为

，

，

所以

.

故选：B.

2. 已知i为虚数单位，若复数

，则

（    ）

A.

 B.

 C.

 D.

【答案】B

【解析】

【分析】由复数的运算化简复数

，再求共轭复数即可.

【详解】因为

，所以

.

故选：B.

3. “

”是“方程

有正实数根”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据零点

几何意义，将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题，结合二次函数的性质，可得答案.

【详解】由方程

有正实数根，则等价于函数

有正零点，

由二次函数

的对称轴为

，则函数

只能存在一正一负的两个零点，

则

，解得

，

故选：B.

4. 已知

，则函数

的最小值为

A.

 B.

 C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】先分离，再根据基本不等式求最值，即得结果.

【详解】

，当且仅当

，即

时，等号成立.

选A

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

5.

展开式中含

的系数是（    ）

A. 28 B.

 C. 84 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据

展开式的通项，分别求出展开式中含

、

、

的项的系数，即可得出答案.

【详解】

展开式的通项为

，

.

当

选取

时，由已知可得，应选取

展开式中含

的项，

由

，可得

；

当

选取

时，由已知可得，应选取

展开式中含

的项，

由

，可得

；

当

选取

时，由已知可得，应选取

展开式中含

的项，

由

，可得

.

所以，

展开式中含

的系数是

.

故选：C.

6. 2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（    ）

A. 40 B. 28 C. 20 D. 14

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余4个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可.

【详解】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，

两个路口为

人分布，共有

种方案，

两个路口为

人分布，共有

种方案，

此时共有

种方案；

同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有

种方案.

所以一共有28种不同的安排方案种数.

故选：B

7. 设

，则（    ）

A.

 B.

 C.

 D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数

和

，利用导数求解单调性，即可判断.

【详解】当

时，记

，则

，故

在

单调递增，故

，因此得当

时，

，故

，即

；

，设

，则

，因为

，

当

时，

．所以

在

上单调递增，所以

，即

，所以

．

故选：A

8. 设函数

的值域为A，若

，则

的零点个数最多是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出各段函数的单调性，结合函数图象分类讨论，分别求出函数的零点个数，即可判断；

【详解】解：令

，则

在

上单调递减；

令

，则

．由

，得

或

；

由

，得

，所以

在

和

上单调递增，在

上单调递减，

于是，

的极大值为

，极小值为

．在同一坐标系中作出函数

和

的图象，如下图：

显然

；由

，得

；由

的解析式，得

．

（1）若

，当

时，

，不符合题意；

（2）若

，当

时，

，不符合题意；

（3）若

，

①当

时，

；

②当

时，

，即

．

由①②，

时符合题意．

此时，结合图象可知，当

时，

在

上没有零点，在

上有2个零点；

当

时，

在

上有1个零点，在

上有1个或2个零点，

综上，

最多有3个零点．

故选：C．

二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织

名大一新生进行体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为

，

，

，

，

，

．则下列说法正确的是（    ）

A. 估计该样本的众数是

B. 估计该样本的均值是

C. 估计该样本的中位数是

D. 若测试成绩达到

分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为

人

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图，可判断A项；根据频率分布直方图，估计出平均数，可判断B项；根据频率分布直方图，估计出中位数，可判断C项；根据频率分布直方图，测试成绩达到

分的频率为

，即可估算有资格参加评奖的人数.

【详解】对于A项，由频率分布直方图可得，最高小矩形为

，所以可估计该样本的众数是

，故A项正确；

对于B项，由频率分布直方图，可估计该样本的均值是

，故B项错误；

对于C项，由频率分布直方图可得，成绩在

之间的频率为

，

在

之间的频率为

，

所以可估计该样本的中位数在

内.

设中位数为

，则由

可得，

，故C项正确；

对于D项，由频率分布直方图可得，测试成绩达到

分的频率为

，所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为

人，故D项正确.

故选：ACD.

10. 已知非零实数a，b满足

，则下列不等关系一定成立的是（    ）

A.

 B.

C.

 D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．

【详解】解：对于非零实数

，

满足

，则

，

即

，故A一定成立；

因为

，故B一定成立；

又

，即

，所以

，故C一定成立；

对于D：令

，

，满足

，此时

，故D不一定成立．

故选：ABC

11. 下列关于概率统计说法中正确的是

（    ）

A. 两个变量

的相关系数为

，则

越小，

与

之间的相关性越弱

B. 设随机变量

服从正态分布

，若

，则

C. 在回归分析中，

为

的模型比

为

的模型拟合的更好

D. 某人在

次答题中，答对题数为

，

，则答对

题的概率最大

【答案】BCD

【解析】

【分析】由相关系数，正态分布，二项分布的概念判断．

【详解】对于A，两个变量

的相关系数为

，

越小，

与

之间的相关性越弱，故A错误，

对于B，随机变量

服从正态分布

，由正态分布概念知若

，则

，故B正确，

对于C，在回归分析中，

越接近于

，模型的拟合效果越好，所以

为

的模型比

为

的模型拟合的更好，故C正确，

对于D，某人在

次答题中，答对题数为

，

，则数学期望

，说明答对

题的概率最大，故D正确．

故选：BCD

12. 已知函数

，若不等式

对任意

恒成立，则实数

的取值可能是（    ）

A.

 B.

 C.

 D.

【答案】BC

【解析】

【分析】令

，得到

，推得

为偶函数，得到

的图象关于

对称，再利用导数求得当

时，

单调递增，当

时，

单调递减，把不等式转化为

恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由函数

，

令

，则

，可得

，

可得

，

所以

为偶函数，即函数

的图象关于

对称，

又由

，令

，

可得

，所以

为单调递增函数，且

，

当

时，

，

单调递增，即

时，

单调递增；

当

时，

，

单调递减，即

时，

单调递减，

由不等式

，可得

，即

所以不等式

恒成立，即

恒成立，

所以

的解集为

，所以

且

，

解得

，结合选项，可得BC适合.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：本题

关键是利用换元法设

，从而得到

，证明其为偶函数，则得到

的图象关于

对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若命题“

”是假命题，则实数

的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】由题知命题的否定“

”是真命题．令

，则

解得

，故实数

的最大值为

故答案为：

14. 已知向量

满足

，则

与

的夹角为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.

【详解】由

，

，

故答案为：

15. 已知

，

为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若

，则C的离心率为______．

【答案】

．

【解析】

【分析】利用椭圆的定义及

，得到

，进而得解.

【详解】

为椭圆

上一点，由椭圆的定义知，

，

因为

，

所以

，所以

.

故答案为：

.

【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解及椭圆的定义，属于基础题.

16. 某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占

，高二60人中女生占

，则从中抽取1人恰好是女生的概率为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据条件概率公式即可求解.

【详解】用

分别表示取的一人是来自高一和高二，

表示抽取一个恰好是女生，则由已知可知：

,且

,

所以

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在

中，

=60°，c=

a.

（1）求sinC的值；

（2）若a=7，求

的面积.

【答案】（1）

   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可，

（2）求出

，再利用余弦定理求出

，然后利用三角形面积公式可求得答案

【小问1详解】

在

中，因为

，

，

所以由正弦定理得

.

【小问2详解】

因为

，所以

.

由余弦定理

得

，

解得

或

（舍）.

所以

的面积

.

18. 设

为函数

的导函数，已知

，且

的图像经过点

．

（1）求曲线

在点

处的切线方程；

（2）求函数

在

上的单调区间．

【答案】（1）

   

（2）单调递增区间为

和

；单调递减区间为

【解析】

分析】(1)求导，计算

得到切线斜率，点斜式求切线方程.

(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.

【小问1详解】

，则

，得

．

由题意

，可得曲线

在点

处的切线方程为

，即

．

【小问2详解】

由已知得

．

又由（1）知

，所以

．

故

．

，

由

，得

，或

；由

，得

．

故

在

上的单调递增区间为

和

；单调递减区间为

．

19. 已知图1是由等腰直角三角形

和菱形

组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，

，

．将三角形

沿

折起，使得平面

平面

（如图2）．

 

（1）求证：

；

（2）求二面角

的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取

的中点

，连接

，

，则

，再结合已知面面垂直可得

平面

，则

，而

，再由线面垂直的判定可得

面

，从而可证得

，

（2）以

，

，

所在的直线分别为

轴，

轴，

轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【小问1详解】

证明：取

的中点

，连接

，

．

∵

，∴

．

又∵平面

平面

，且平面

平面

，

平面

，

∴

平面

．

∵

平面

，∴

．

∵在菱形

中，

， ∴

为等边三角形，

∵

的中点为

，∴

，

∵

∥

，∴

∵

，

平面

，

∴

平面

，∵

平面

，∴

．

【小问2详解】

由（1）

平面

，∵

平面

，∴

，

∵

，

∴如图,以

，

，

所在的直线分别为

轴，

轴，

轴建立空间直角坐标系，则

，

∴

，

，

．

设平面

的法向量为

，则

，不妨设

，则

．

设平面

的法向量为

，则

，令

，则

，

设二面角

的大小为

，由图可知

为钝角，

∴

，∴

．

∴二面角

的正弦值为

．

 

20. 已知数列

的首项

，且满足

，设

.

（1）求证：数列

为等比数列；

（2）若

，求满足条件的最小正整数

.

【答案】（1）证明见解析   

（2）140

【解析】

【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；

（2）利用分组求和的方法得到

，然后利用

的增减性解不等式

即可.

【小问1详解】

，

，所以数列

为首项为

，公比为

等比数列.

【小问2详解】

由（1）可得

，

即

∴

而

随着

的增大而增大

要使

，即

，则

，

∴

的最小值为140.

21. 已知椭圆E:

与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且

是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2

与椭圆E交于不同的两点A,B.

（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；

（2）求

的面积的最大值.

【答案】（1）

;（2）

.

【解析】

【详解】（1）因为

是边长为2的等边三角形，

所以

，

，

，所以

，

所以椭圆

：

，点

.

将直线

代入椭圆

的方程，

整理得：

，（*）

设

，则由（*）式可得

，

所以

，

，

，

所以直线

的斜率之积

所以直线

斜率之积是定值

.

（2）记直线

与

轴的交点为

，

则

当且仅当

，即

时等号成立.

所以

的面积的最大值为

.

22. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．

（1）若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，

表示选取的人中来自该中学的人数，求

的分布列和数学期望；

（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为

，

，且

，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？

【答案】（1）分布列见解析，

   

（2）11轮

【解析】

【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；

（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.

【小问1详解】

由题意可知

的可能取值有0、1、2、3，

，

，

，

所以，随机变量

的分布列如下表所示：

	0	1	2	3

所以

．

【小问2详解】

他们在每轮答题中取得胜利的概率为

，

由

，

，

，得

，

则

，因此

，

令

，

，于是当

时，

．

要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值

．

设他们小组在

轮答题中取得胜利的次数为

，则

，

，

由

，即

，解得

．

而

，则

，所以理论上至少要进行11轮答题．